Question

【題目】已知函數 +cos2x+a（a∈R，a為常數）． （Ⅰ）求函數的最小正周期；
（Ⅱ）求函數的單調遞減區間；
（Ⅲ）若 時，f（x）的最小值為﹣2，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（I） ∴f（x）的最小正周期，T=
（II）因為y=sinx的減區間為： ，k∈Z
所以 即 （k∈Z）時，函數f（x）單調遞減，
故所求區間為
（III） 時， 時
f（x）取得最小值∴2sin ．
【解析】化簡函數 +cos2x+a（a∈R，a為常數）．為一個角的一個三角函數的形式，（I）直接根據周期公式求出函數的最小正周期；（II）借助正弦函數的單調減區間，求函數 的單調遞減區間；（III）若 時，f（x）的最小值為﹣2，求出 取得最小值求解即可．
【考點精析】通過靈活運用正弦函數的單調性和三角函數的最值，掌握正弦函數的單調性：在上是增函數；在上是減函數；函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，即可以解答此題．