Question

【題目】已知曲線

若，過點的直線交曲線于兩點，且，求直線的方程；

若曲線表示圓，且直線與圓交于兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）或 (即)（2）

【解析】試題分析：（1）根據垂徑定理求出圓心到直線距離為1 ，再根據點到直線距離公式求直線的斜率，即得直線方程，（2）先根據曲線表示圓得實數取值范圍為.再根據以為直徑的圓過原點得，利用向量數量積可得，根據直線方程進一步化簡得，最后聯立直線方程與圓方程，結合韋達定理化簡得．

試題解析：解(1) 當時, 曲線C是以為圓心,2為半徑的圓,

若直線的斜率不存在,顯然不符，

故可直線為: ，即．

由題意知，圓心到直線的距離等于，

即:

解得或.故的方程或 (即)

(2)由曲線C表示圓，即，

所以圓心C（1,2），半徑，則必有.

假設存在實數使得以為直徑的圓過原點，則，設，

則，由得

，即，又，

故,從而

, 故存在實數使得以為直徑的圓過原點， ．