Question

【題目】已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)的圖象與直線交于兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明: 為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1） 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系與分類整合思想求解；（2）依據(jù)題設(shè)構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)推證.

試題解析：

（1）由題可知，. ①當(dāng)時(shí)，

令，則，令，則.

②當(dāng)時(shí)，.③當(dāng)時(shí)，令，則，令，則,綜上，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）

,,當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，與軸不可能有兩個(gè)交點(diǎn)，故.

當(dāng)時(shí)，令，則；令，則.

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，

且.要證，需證，

即證，

又，所以只需證.

即證：當(dāng)時(shí)，.

設(shè)，

則在上單調(diào)遞減，

又，故.