Question

9．已知函數$f（x）=a（x-\frac{1}{x}）-2lnx$，a∈R．
（1）若a=1，判斷函數f（x）是否存在極值，若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（2）設函數$g（x）=-\frac{a}{x}$．若至少存在一個x₀∈[1，e]，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出當a=1時，f（x）的導數，判斷符號，進而得到是否存在極值；
（2）存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．

解答 解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-2lnx，x＞0，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{2}{x}$=$\frac{（x-1）^{2}}{{x}^{2}}$≥0．
即有f（x）在（0，+∞）遞增，函數f（x）不存在極值；
（2）因為存在一個x₀∈[1，e]使得f（x₀）＞g（x₀），
則ax₀＞2lnx₀，等價于a＞$\frac{2ln{x}_{0}}{{x}_{0}}$，
令F（x）=$\frac{2lnx}{{x}^{\;}}$，等價于“當x∈[1，e]時，a＞F（x）_min”．
得F′（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$
可得到當x∈[1，e]時，F′（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上單調遞增．
當所以F（x）_min=F（1）=0，因此a＞0．
∴實數a的取值范圍為（0，+∞）．

點評 題考查導數的幾何意義、導數研究函數單調性及求函數的最值問題，考查學生分析問題解決問題的能力，對于“能成立”問題及“恒成立”問題往往轉化為函數最值解決．屬于中檔題．