Question

函數f(x)對一切實數x、y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.

(1)求f(0)；

(2)求f(x)；

(3)當0<x<2時，不等式f(x)>ax－5恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

 (1)令x＝1，y＝0，

得f(1＋0)－f(0)＝(1＋2×0＋1)·1＝2，

∴f(0)＝f(1)－2＝－2.

(2)令y＝0，f(x＋0)－f(0)＝(x＋2×0＋1)·x＝x²＋x，

∴f(x)＝x²＋x－2.

(3)f(x)>ax－5化為x²＋x－2>ax－5，

ax<x²＋x＋3，∵x∈(0,2)，

∴a<＝1＋x＋.

當x>0時，1＋x＋≥1＋2，當且僅當x＝，即x＝時取等號，∵∈(0,2)，∴(1＋x＋)_min＝1＋2.

∴a<1＋2.