Question

已知函數f（x）=

-x2+2x，x＞0 0，x=0 x2+mx，x＜0

是奇函數．
（1）求實數m的值；
（2）若函數f（x）在區間[-1，a-2]上單調遞增，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f（x）為奇函數，設x＜0得到f（-x）=-f（x），進而的f（x）的解析式，求得m的值．
（2）根據（1）中的解析式，可畫出f（x）的圖象，根據圖象可知要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，則需a-2＞-1且a-2≤1，進而求得a的范圍．

解答：解：（1）設x＜0，則-x＞0，所以f（-x）=-（-x）²+2（-x）=-x²-2x，
又f（x）為奇函數，所以f（-x）=-f（x），于是x＜0時，f（x）=x²+2x=x²+mx，所以m=2．
（2）要使f（x）在[-1，a-2]上單調遞增，結合f（x）的圖象知

a-2＞-1 a-2≤1

所以1＜a≤3，故實數a的取值范圍是（1，3]．

點評：本題主要考查函數的單調性和奇偶性的綜合運用．屬基礎題．