Question

【題目】如圖，菱形的對角線與交于點O，，點分別在上，，交于點. 將沿折到△的位置，.

（1）證明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）根據折疊前后關系可證，再用勾股定理證，即可證得結論；

（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，找出平面的法向量，即可求出結果.

（I）由已知得，，

又由得，故.

因此，從而

由,，

得.

由得.

所以，.

于是，故.

又，而，

所以平面.

（II）如圖，以為坐標原點，的方向為軸的正方向，

建立空間直角坐標系，則，，

，，，

，.

設是平面的法向量，

則，即，

所以可以取

因菱形ABCD中有，

又由（1）知

所以是平面的法向量，

設二面角為，由于為銳角，

于是 .

因此二面角的余弦值是.