Question

已知函數
（1）當x≤0時，函數f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為x-3y+1=0，求m的值；
（2）當x＞0時，設f（x）+1的反函數為g^-1（x）（g^-1（x）的定義域即是f（x）+1的值域）．證明：函數在區間（e，3）內無零點，在區間（3，e²）內有且只有一個零點；
（3）求函數f（x）的極值．

Answer 1

解：（1）當x≤0時，，f'（x）=x²+2mx，f'（-1）=1-2m
函數f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為：
整理得：（3-6m）x-3y+2-3m=0
所以有，
解得．
（2）當x＞0時，f（x）+1=e^x，
所以g^-1（x）=lnx（x＞1），=，
令h'（x）＞0得x＞3；令h'（x）＜0得1＜x＜3，令h'（x）=0得x=3，
故知函數h（x）在區間（1，3）上為減函數，在區間（3，+∞）為增函數，在x=3處取得極小值，
進而可知h（x）在（e，3）上為減函數，在（3，e²）上為增函數，在x=3處取得極小值．
又∵．
所以，函數在區間（e，3）內無零點，在區間（3，e²）有且只有一個零點
（3）當x＞0時，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上單調遞增，且f（x）=e^x-1＞0．
當x≤0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）
①若m=0，f'（x）=x²≥0，則在（-∞，0]上單調遞增，且．
又f（0）=0，∴f（x）在R上是增函數，無極值．
②若m＜0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，則在（-∞，0]上單調遞增．
同理，f（x）在R上是增函數，無極值．
③若m＞0，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．
當x＜-2m時，f'（x）＞0
當-2m＜x＜0時，f'（x）＜0
所以，在（-∞，-2m]上單調遞增，在（-2m，0]上單調遞減．
又f（x）在（0，+∞）上單調遞增，故[f（x）]_極小=f（0）=0，
綜上，當m＞0時，[f（x）]_極小=f（0）=0，．
當m≤0時，f（x）無極值．
分析：（1）由題意得f'（-1）=1-2m所以函數f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為：（3-6m）x-3y+2-3m=0，又因為函數f（x）在（-1，f（-1））處的切線方程為x-3y+1=0所以解得．
（2）當x＞0時g^-1（x）=lnx（x＞1），所以所以解得可知h（x）在（e，3）上為減函數，在（3，e²）上為增函數，在x=3處取得極小值．進而可以得到答案．
（3）當x＞0時，f（x）=e^x-1在（0，+∞）上單調遞增，且f（x）=e^x-1＞0．當x≤0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）．當m＞0時，f'（x）=x²+2mx=x（x+2m），令f'（x）=0，得x₁=-2m，x₂=0．當x＜-2m時，f'（x）＞0當-2m＜x＜0時，f'（x）＜0，f（x）在（-∞，-2m]上單調遞增，在（-2m，0]上單調遞減．有極值．
當m＜0時f'（x）=x²+2mx=x（x+2m）＞0，f（x）在R上是增函數，無極值
當m=0時f'（x）=x²≥0，f（x）在R上是增函數，無極值．
點評：本題考查利用導數解決極值問題，關鍵要注意其中分類討論是本題的難點，由于函數是分段函數所以在討論時要細心仔細，很大方面考查了運算能力．