Question

求證：

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2n-1)•2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

．

Answer 1

①當n=1時，左邊=

1

1×2

=

1

2

，右邊=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假設當n=k時等式成立，即

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

．
則當n=k+1時，

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

1

k+1

+

1

(2k+1)(2k+2)

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

2

2k+2

+

1

2k+1

-

1

2k+2

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

，
即當n=k+1時，等式成立．
根據（1）（2）可知，對一切n∈N^*，原等式成立．