Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿(mǎn)足：Sn=

a

a-1

(an-1)（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1）．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=

2Sn

an

+1，若數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，求a的值；
（3）在條件（2）下，設(shè)cn=2-(

1

1+an

+

1

1-an+1

)，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n．求證：Tn＜

1

3

．

Answer 1

分析：（1）利用通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式關(guān)系式an=

s1      (n=1) sn-sn-1(n≥2)

，得到a_n與a_n-1的關(guān)系．
（2）把s_n代入b_n并化簡(jiǎn)，已知數(shù)列為等比數(shù)列，取一些具體簡(jiǎn)單項(xiàng)，再利用等比中項(xiàng)求出a的值．
（3）把前兩小題的結(jié)果代入c_n并化簡(jiǎn)，由式子的特點(diǎn)利用放縮法證明．即兩項(xiàng)相減時(shí)前一項(xiàng)放小后一項(xiàng)放大，前后兩項(xiàng)恰好消去，然后再放縮．

解答：解：（1）∵S1=

a

a-1

(a1-1)（a為常數(shù)，且a≠0，a≠1），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=

a

a-1

an-

a

a-1

an-1，
化簡(jiǎn)得

an

an-1

=a（a≠0），
又∵當(dāng)n=1時(shí)，a₁=s₁=a，即{a_n}是等比數(shù)列．
∴數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=a•a^n-1=aⁿ
（2）由（1）知，bn=

2• a a-1 (an-1)

an

+1=

(3a-1)an-2a

an(a-1)

，
因{b_n}為等比數(shù)列，則有b₂²=b₁b₃
∵b1=3，b2=

3a+2

a

，b3=

3a2+2a+2

a2

，
∴(

3a+2

a

)2=3•

3a2+2a+2

a2

，
解得a=

1

3

，再將a=

1

3

代入得b_n=3ⁿ成立，
∴a=

1

3

．
（3）證明：由（2）知an=(

1

3

)n，
∴cn=2-

1

1+( 1 3 )n

-

1

1-( 1 3 )n+1

=1-

3n

3n+1

+1-

3n+1

3n+1-1

=

1

3n+1

-

1

3n+1-1

，
∵

1

3n+1

＜

1

3n

，

1

3n+1-1

＞

1

3n+1

∴

1

3n+1

-

1

3n+1-1

＜

1

3n

-

1

3n+1

，
∴cn＜

1

3n

-

1

3n+1

∴數(shù)列的前n和T_n=c₁+c₂+…+c_n
＜(

1

3

-

1

32

) +(

1

32

-

1

33

) +…+(

1

3n

- 

1

3n-1

)
=

1

3

-

1

3n+1

＜

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)全面，涉及到通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系及等比數(shù)列的定義，計(jì)算量也很大，最后證明用放縮法，需要認(rèn)真觀察式子的特點(diǎn)，恰到好處的放縮才能證明出來(lái)．做好本題需要強(qiáng)的計(jì)算能力和嚴(yán)密的邏輯思維能力．