Question

2008年世界經濟出現嚴重衰退，我國政府為了刺激經濟增長，2009年開始加大貨幣貸款量，為一批中小企業解決資經短缺問題．某私營企業獲得一筆貸款準備新建一棟面積為10000m²，高為10m，底面為矩形的廠房，由于受地理環境的影響，矩形的一邊（南北方向）不能超過a（m），已知廠房的地面造價為800元/m²，頂的造價為500元/m²，墻壁的造價為600元/m²，設廠房南北方向長為x（m），造價為y（元）．
（I）寫出用x（m）表示y（元）的函數關系式并指出定義域；
（II）求x為何值時廠房的造價最低，并求出最低價．

Answer 1

解：（I）根據題設，南北方向的邊長為xm，0＜x≤a，
則寬為：，矩形的周長為W，
那么W=2（x+，墻的面積為10W=20（x+）
[所以y=8000000+5000000+12000
y=13000000+12000（x）
其定義域為x∈（0，a]
（II）由（I）y=13000000+12000（x+）
①a≥100時，y≥1300000+2400=1540000
∴顯然當=
即x=100時
y_min=15400000
②當0＜a＜100時
設x₁＜x₂＜a
（x₂+）-（x₁+）
=（x2-x1）
∴y=13000000+12000（x+）
在區間（0，a]上是減函數
則當x=a時，y取最小值y_min=13000000+12000（a+）
故當a≥100時
y_min=15400000元
當0＜a＜100時，ymin=1300000+12000（a+）
分析：（I）根據題意，設出南北方向的邊長，直接寫出用x（m）表示y（元）的函數關系式．
（II）分別分a≥100時以及0＜a＜100時，根據基本不等式與函數單調性求出最值．
點評：本題考查函數模型的選取與應用，通過對實際問題的分析，轉化為函數表達式，通過對基本不等式的運用求解最值，考查學生對知識的熟練運用能力，屬于中檔題．