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求函數y=

2x+4

x+3

的值域．

函數的定義域由

2x+4≥0

x+3≥0

求得x≥-2．
求導得y′=

2x+4

x+3

2x+4

•

x+3

．
令y′＞0得2

x+3

＞

2x+4

，
即

2x+4＞0

x+3＞0

4(x+3)＞2x+4

解得x＞-2，
即函數y=

2x+4

x+3

在（-2，+∞）上是增函數．
又此函數在x=-2處連續，∴在[-2，+∞）上是增函數，而f（-2）=-1．
∴函數y=

2x+4

x+3

的值域是[-1，+∞）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

求函數y=

2x+4

x+3

的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（選修4-5：不等式選講）已知實數m，n＞0．
（Ⅰ）求證：

≥

(a+b)2

m+n

；
（Ⅱ）求函數y=

1-2x

(x∈(0，

))的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知函數y=

2x-4

（x≥2），求它的反函數．
（2）根據函數單調性的定義，證明函數f（x）=-x²+1在區間[0，+∞）上是減函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理科做）
閱讀下面題目的解法，再根據要求解決后面的問題．
閱讀題目：對于任意實數a₁，a₂，b₁，b₂，證明不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
證明：構造函數f（x）=（a₁x+b₁）²+（a₂x+b₂）²=（a₁²+a₂²）x²+2（a₁b₁+a₂b₂）x+（b₁²+b₂²）．
注意到f（x）≥0，所以△=[2（a₁b₁+a₂b₂）]²-4（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）≤0，
即（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）．
（其中等號成立當且僅當a₁x+b₁=a₂x+b₂=0，即a₁b₂=a₂b₁．）
問題：（1）請用這個不等式證明：對任意正實數a，b，x，y，不等式

≥

(a+b)2

x+y

成立．
（2）用（1）中的不等式求函數y=

1-2x

(0＜x＜

)的最小值，并指出此時x的值．
（3）根據閱讀題目的證明，將不等式（a₁b₁+a₂b₂）²≤（a₁²+a₂²）（b₁²+b₂²）進行推廣，得到一個更一般的不等式，并用構造函數的方法對你的推廣進行證明．

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