Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）討論的零點個數(shù).

Answer 1

【答案】（1）在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當時，有個零點；當時，有個零點.

【解析】

（1）求導后求解、的解集后即可得解；

（2）當時，由（1）求得的單調(diào)性即可得解；當時，求出函數(shù)導數(shù)后，設導函數(shù)的零點為，求得的最小值，再由、即可得解.

（1）若時，，的定義域為，

，

當時，；當時， ；

所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

（2）當時，，

，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

有個零點；

當時，，

令，

因為，在上單調(diào)遞增.

又，，

所以存在實數(shù)，使得.

在上，，是減函數(shù)，

在上，，是增函數(shù)，

所以的最小值是，

其中滿足，

即，

所以

，

因為，，

又因為，

所以有個零點.

綜上所述，當時，有個零點；

當時，有個零點.