Question

如圖，已知：橢圓M的中心為O，長軸的兩個端點為A、B，右焦點為F，AF=5BF．若橢圓M經過點C，C在AB上的射影為F，且△ABC的面積為5．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）已知圓O：x²+y²=1，直線l：mx+ny=1，試證明：當點P（m，n）在橢圓M上運動時，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距為c，由AF=5BF，得2a=3c．（1）由題意設點C坐標（c，y），代入得橢圓的方程得出．最后由△ABC的面積為5，得出a，b的關系式解得a，b．最后寫出橢圓M的方程．
（Ⅱ）點P（m，n）在橢圓C上，則m²+n²＞

m2

9

+

n2

5

，從而得圓心O到直線l的距離 d=

1

m2+n2

＜1=r，即直線l與圓O相交；直線l被圓O截得的弦長為 t=2

r2-d2

，可得弦長t的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，半焦距為c，
由AF=5BF，且AF=a+c，BF=a-c，∴a+c=5（a-c），得2a=3c．（1）
由題意CF⊥AB，設 點C坐標（c，y），C在M上，
代入得y2=b2(1-

c2

a2

)=

(a2-c2)2

a2

∴y=

a2-c2

a

． 由△ABC的面積為5，
得

1

2

•2a•

a2-c2

a

=5，a²-c²=5．（2）
解（1）（2）得a=3，c=2．
∴b²=a²-c²=9-4=5．
∴所求橢圓M的方程為：

x2

9

+

y2

5

=1．
（Ⅱ） 圓O到直線l：mx+ny=1距離d=

1

m2+n2

，
由點P（m，n）在橢圓M上，則

m2

9

+

n2

5

=1，
顯然m²+n²＞

m2

9

+

n2

5

，
∴m²+n²＞1，

m2+n2

＞1，
∴d=

1

m2+n2

＜1，
而圓O的半徑為1，直線l與圓O恒相交．
弦長t=2

1-d2

=2

1- 1 m2+n2

，
由

m2

9

+

n2

5

=1得n2=5(1-

m2

9

)，
∴

1

m2+n2

=

9

4m2+45

，t=2

1- 9 4m2+45

，
∵|m|≤a，∴0≤m²≤9，45≤4m²+45≤81，
∴

4

5

≤1-

9

4m2+45

≤

8

9

，
弦長t的取值范圍是[

4 5

5

，

4 2

3

]．

點評：本題考查了直線與橢圓，直線與圓的綜合應用問題，也考查了直線過定點的問題；解題時要認真分析，靈活運用所學的知識，細心解答．