Question

（2013•浦東新區(qū)二模）（1）設橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1與雙曲線C₂：9x2-

9y2

8

=1有相同的焦點F₁、F₂，M是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共點，且△MF₁F₂的周長為6，求橢圓C₁的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為y2=

4x            (0≤x≤3) -12(x-4)  (3＜x≤4)

．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d₁，M到直線l：x=3的距離為d₂，求證：d₁+d₂為定值； 
（3）由拋物線弧E₁：y²=4x（0≤x≤

2

3

）與第（1）小題橢圓弧E₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（

2

3

≤x≤a）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r₁；并求

r1

r2

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由△MF₁F₂的周長為6得a+c=3，由橢圓與雙曲線共焦點可得c值，據平方關系可求得b；
（2）設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為（x，y），d₂=|x-3|．分M∈C₁時，M∈C₂時兩種情況表示出d₁，再分別計算d₁+d₂即可求得定值；
（3）由“盾圓E”的對稱性，不妨設A在x軸上方（或x軸上），當x=

2

3

時，y=±

2 6

3

，此時r=

5

3

，cosα=-

1

5

，分類討論：-

1

5

≤cosα≤1時，A在橢圓弧E₂上，-1≤cosα≤-

1

5

時A在拋物線弧E₁上，由條件可表示出此時r₁，相應地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），再按-1≤cosα≤-

1

5

時A在拋物線弧E₁上，B在橢圓弧E₂上，當

1

5

≤cosα≤1時A在橢圓弧E₂上，B在拋物線弧E₁上，
當-

1

5

≤cosα≤

1

5

時A、B在橢圓弧E₂上，利用三角函數性質分別求出

r1

r2

的范圍即可．

解答：（1）解：由△MF₁F₂的周長為6得2（a+c）=6，即a+c=3，
橢圓C₁與雙曲線C₂：9x2-

9y2

8

=1有相同的焦點，所以c=1，所以a=2，b²=a²-c²=3，
橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）證明：設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為（x，y），d₂=|x-3|．
當M∈C₁時，y²=4x（0≤x≤3），d1=

(x-1)2+y2

=|x+1|，
則d₁+d₂=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；
當M∈C₂時，y²=-12（x-4）（3＜x≤4），d1=

(x-1)2+y2

=|7-x|，
則d₁+d₂=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；
所以d₁+d₂=4為定值；
（3）顯然“盾圓E”由兩部分合成，所以按A在拋物線弧E₁或橢圓弧E₂上加以分類，由“盾圓E”的對稱性，不妨設A在x軸上方（或x軸上）：
當x=

2

3

時，y=±

2 6

3

，此時r=

5

3

，cosα=-

1

5

；
當-

1

5

≤cosα≤1時，A在橢圓弧E₂上，
由題設知A（1+r₁cosα，r₁sinα）代入

x2

4

+

y2

3

=1得，3（1+r₁cosα）²+4(r1sinα)2-12=0，
整理得（4-cos²α）r12+6r₁cosα-9=0，
解得r1=

3

2+cosα

或r1=

3

cosα-2

（舍去）．
當-1≤cosα≤-

1

5

時A在拋物線弧E₁上，
由方程或定義均可得到r₁=2+r₁cosα，于是r1=

2

1-cosα

，
綜上，r1=

2

1-cosα

（-1≤cosα≤-

1

5

）或r1=

3

2+cosα

（-

1

5

≤cosα≤1）；
相應地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），
當-1≤cosα≤-

1

5

時A在拋物線弧E₁上，B在橢圓弧E₂上，

r1

r2

=

2

1-cosα

•

2-cosα

3

=

2

3

(1+

1

1-cosα

)∈[1，

11

9

]；
當

1

5

≤cosα≤1時A在橢圓弧E₂上，B在拋物線弧E₁上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

1+cosα

2

=

3

2

(1-

1

2+cosα

)∈[

9

11

，1]；
當-

1

5

≤cosα≤

1

5

時A、B在橢圓弧E₂上，

r1

r2

=

3

2+cosα

•

2-cosα

3

=

2-cosα

2+cosα

∈（

9

11

，

11

9

）；
綜上

r1

r2

的取值范圍是[

9

11

，

11

9

]．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、兩點間距離公式及橢圓方程的求解，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對能力要求高．