Question

已知函數(shù)，a為正常數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）=lnx+φ（x），且，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）若g（x）=|lnx|+φ（x），且對(duì)任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂，都有，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令其小于0，結(jié)合函數(shù)的定義域，可求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）由已知，，構(gòu)造h（x）=g（x）+x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，及最值進(jìn)行求解．
解答：解：（Ⅰ），∵，令f′（x）＜0，
得，故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為．                 …（5分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴，
設(shè)h（x）=g（x）+x，依題意，h（x）在（0，2]上是減函數(shù)，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，h（x）=lnx++x，
，令h′（x）≤0，得a═對(duì)x∈[1，2]恒成立
設(shè)，則，
∵1≤x≤2，∴，
∴m（x）在[1，2]上是增函數(shù)，則當(dāng)x=2時(shí)，m（x）有最大值為，∴．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，，，
令h'（x）≤0，得：，
設(shè)，則，∴t（x）在（0，1）上是增函數(shù)，
∴t（x）＜t（1）=0，∴a≥0，綜上所述，．                 …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系及應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化、計(jì)算能力．