Question

（本小題14分）
如圖2,在四面體中,且
(1)設為的中點,證明:在上存在一點,使,并計算的值;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

解法一:（1）在平面內作交于，連接.…………1分

　又，　
　　，　　。        

取為的中點，則         …………4分
在等腰中，， 
在中，，  ……4分
在中，，   …5分
                       …………8分
（2）連接，
由，知：.
又，
又由，.
又,
又是的中點,
,
,,

為二面角的平面角                …………10分
在等腰中，，
在中，，
在中, .           …………12分
                     …………14分

解法二：在平面中,過點,作交于,取為坐標原點，分別以，,所在的直線為軸，軸,軸，建立空間直角坐標系 （如圖所示）       …………1分
則
為中點，      …………2分
設 .

 即，.      …………6分
所以存在點 使得 且.      …………8分
（2）記平面的法向量為,則由，，且，
得， 故可取          …………10分
又平面的法向量為.                    …………11分
.                    …………13分
二面角的平面角是銳角，記為，則 …………14分

略