Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)情況；

（2）若，對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

注：.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)為，當(dāng)時(shí), 不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)為；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與值域可得當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)， 函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得當(dāng)時(shí), 不存在零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)，當(dāng)且時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)；（2）當(dāng)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，符合題意；當(dāng)時(shí)，存在，使，不合題意，綜合兩種情況可得結(jié)果.

試題解析：（1）函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，

所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為.

函數(shù).

當(dāng)時(shí),不存在零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的定義域是，此時(shí)函數(shù)不存在零點(diǎn)；

當(dāng)且時(shí)，令，得，得，此時(shí)函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)為.

（2）若，則，.

令，得，則函數(shù)的定義域是；

令，得，則函數(shù)的定義域是.

因?yàn)?/span>對(duì)任意恒成立，

所以對(duì)任意恒成立.

令，則對(duì)任意恒成立.

.

討論：當(dāng)，即時(shí)，且不恒為0，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

又，

所以對(duì)任意恒成立.故符合題意；

當(dāng)時(shí)，令，得.

令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以.又，所以當(dāng)時(shí)，存在，使.

故知對(duì)任意不恒成立.故不符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.