Question

已知α為第三象限的角，cos2α=-

3

5

，則tan(

π

4

+2α)=

 

Answer 1

分析：方法一：由α為第三象限的角，判斷出2α可能的范圍，再結合又cos2α=-

3

5

＜0確定出2α在第二象限，利用同角三角函數關系求出其正弦，再由兩角和的正切公式展開代入求值．
方法二：判斷2α可能的范圍時用的條件組合方式是推出式，其它比同．

解答：解：方法一：因為α為第三象限的角，所以2α∈（2（2k+1）π，π+2（2k+1）π）（k∈Z），
又cos2α=-

3

5

＜0，所以2α∈(

π

2

+2(2k+1)π，π+2(2k+1)π)(k∈Z)，
于是有sin2α=

4

5

，tan2α=

sin2α

cos2α

=-

4

3

，
所以tan(

π

4

+2α)=

tan π 4 +tan2α

1-tan π 4 tan2α

=

1- 4 3

1+ 4 3

=-

1

7

．
方法二：α為第三象限的角，cos2α=-

3

5

，2kπ+π＜α＜2kπ+

3

2

π?4kπ+2π＜2α＜4kπ+3π?2α在二象限，sin2α=

4

5

tan(

π

4

+2α)=

sin( π 4 +2α)

cos( π 4 +2α)

=

sin π 4 cos2α+cos π 4 sin2α

cos π 4 cos2α-sin π 4 sin2α

=

cos2α+sin2α

cos2α-sin2α

=-

1

7

點評：本小題主要考查三角函數值符號的判斷、同角三角函數關系、和角的正切公式，同時考查了基本運算能力及等價變換的解題技能．