Question

【題目】如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，設AC與BD相交于點O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且FA＝FC．

(1)求證：FC∥平面EAD；

(2)求二面角A－FC－B的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

(1)先證明平面FBC∥平面EAD，即證明FC∥平面EAD.(2)利用向量法求二面角A－FC－B的余弦值．

(1)證明：∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，

∴AD∥BC，DE∥BF．

∵AD平面FBC，DE平面FBC，

∴AD∥平面FBC，DE∥平面FBC，

又AD∩DE＝D，AD平面EAD，DE平面EAD，

∴平面FBC∥平面EAD，

又FC平面FBC，∴FC∥平面EAD．

(2)連接FO、FD，∵四邊形BDEF為菱形，且∠DBF＝60°，∴△DBF為等邊三角形，

∵O為BD中點．所以FO⊥BD，O為AC中點，且FA＝FC，

∴AC⊥FO，

又AC∩BD＝O，∴FO⊥平面ABCD，

∴OA、OB、OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O－xyz，

設AB＝2，因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB＝60°，

則BD＝2，OB＝1，OA＝OF＝，

∴O(0,0,0)，A(，0,0)，B(0,1,0)，C(－，0,0)，F(0,0，)，

∴＝(，0，)，＝(，1,0)，

設平面BFC的一個法向量為n＝(x，y，z)，

則有∴

令x＝1，則n＝(1，－，－1)，

∵BD⊥平面AFC，∴平面AFC的一個法向量為＝(0,1,0)．

∵二面角A－FC－B為銳二面角，設二面角的平面角為θ，

∴cosθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

∴二面角A－FC－B的余弦值為．