Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，，Q是AD的中點.

（Ⅰ）若，求證：平面PQB平面PAD；

（Ⅱ）若平面APD平面ABCD，且，點M在線段PC上，試確定點M的位置，使二面角的大小為，并求出的值.

Answer 1

【答案】（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景，考查線線垂直、線面垂直、面面垂直、向量法等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，為等腰三角形，Q為AD中點，所以，又由于底面ABCD為菱形，得到，利用線面垂直的判定得到平面PQB，最后利用面面垂直的判定得到結論；第二問，利用面面垂直的性質得到兩兩垂直關系，建立空間直角坐標系，寫出面內所有點的坐標，得到向量坐標

試題解析：（1）∵，Q為AD的中點，∴，

又底面ABCD為菱形，，∴ ,

又∴平面PQB，又∵平面PAD,

平面PQB平面PAD;

（2）平面PAD平面ABCD,平面平面,∴平面ABCD.

以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸建立空間直角坐標系如圖.

則,

設,

所以，平面CBQ的一個法向量是，

設平面MQB的一個法向量為，所以

取，

由二面角大小為，可得：

，解得，此時.