Question

如圖，在體積為1的三棱錐A-BCD側棱AB、AC、AD上分別取點E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，記O為三平面BCG、CDE、DBF的交點，則三棱錐O-BCD的體積等于（　　）

• A、

  1

  9

• B、

  1

  8

• C、

  1

  7

• D、

  1

  4

Answer 1

分析：畫出圖形，三棱錐O-BCD的體積，轉化為線段的長度比，充分利用直線的平行進行推到，求出比例即可．

解答：解：AA'為正三棱錐A-BCD的高；OO'為正三棱錐O-BCD的高
因為底面△BCD相同，則它們的體積比為高之比
已知三棱錐A-BCD的體積為1
所以，三棱錐O-BCD的體積為：

OO′

AA′

…（1）
由前面知，FG∥CD且

FG

CD

=

2

3

所以由平行得到，

FG

CD

=

GN

NC

=

2

3

所以，

GN

GC

=

2

5

[面BCG所在的平面圖如左上角簡圖]
同理，

GP

GB

=

2

5

則，

GN

GC

=

GP

GB

所以，PN∥BC
那么，

PN

BC

=

GN

GC

=

2

5

亦即，

GT

GQ

=

GN

GC

=

2

5

設GQ=x
那么，GT=

2

5

x
則，QT=GQ-GT=x-

2x

5

=

3x

5

而，

TO

OQ

=

TN

BQ

=

GN

GC

=

2

5

所以：

TO

TQ

=

2

7

則，TO=

2

7

QT=

2

7

×

3

5

x=

6x

35

所以：GO=GT+TO=

2

5

x+

6x

35

=

4x

7

所以，OQ=GQ-GO=x-

4x

7

=

3x

7

又，

OQ

GQ

=

OO′

GG′

所以，

OO′

GG′

=

3x 7

x

=

3

7

…（2）
且，

DG

DA

=

GG′

AA′

所以：

GG′

AA′

=

1

3

…（3）
由（2）*（3）得到：

OO′

AA′

= 

3

7

× 

1

3

=

1

7

代入到（1）得到：
三棱錐O-BCD的體積就是

OO′

AA′

=

1

7

點評：本題考查學生對三棱錐的認識，以及必要的輔助線的作法，是難題．