【題目】如圖，已知橢圓
，
點是它的右端點，弦
過橢圓的中心
，
，
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
為圓上不重合的兩點，
的平分線總是垂直于
軸，且存在實數
，使得
，求的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）先求出
的值，再求出點
的坐標，并將點的坐標代入橢圓方程，得出
的值，即可得出橢圓的標準方程；
（2）先由已知條件得出直線
和直線
的斜率互為相反數，可設直線的方程為
，將直線的方程與橢圓方程聯立，求出點
的坐標，同理得出點
的坐標，利用向量的坐標運算得出實數
的表達式，再利用基本不等式可求出的最大值．
（1）依題意可知
，
，
.
又
，
，
是等腰直角三角形，
，
.又點在橢圓上，
，
，因此，所求橢圓的標準方程為；
（2）如下圖所示：
對于橢圓上兩點、，
的平分線總是垂直于
軸，
與
所在直線關于直線
對稱.
設
，則
，
則直線的方程為
，①
直線的方程為
，②
將①代入
，得
.③
在橢圓上，
是方程③的一個根，
，
以
替換
，得到
.
，
，
易知
，
，
，
，則
，
，
當且僅當
時，即當
時，等號成立，
因此，實數的最大值為.
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面多邊形
中，四邊形
是邊長為2的正方形，四邊形
為等腰梯形，
為
的中點,
,現將梯形沿
折疊，使平面
平面.
（1）求證：
面
；
（2）求
與平面
成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在①
；②
；③
這三個條件中任選一個，補充在下面問題中的橫線上，并解答相應的問題.
在
中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________________，
，求的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年，中華人民共和國成立70周年，為了慶祝建國70周年，某中學在全校進行了一次愛國主義知識競賽，共1000名學生參加，答對題數（共60題）分布如下表所示：
組別 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 185 | 265 | 400 | 115 | 25 |
答對題數
近似服從正態分布
，
為這1000人答對題數的平均值（同一組數據用該組區間的中點值作為代表）.
（1）估計答對題數在
內的人數（精確到整數位）.
（2）學校為此次參加競賽的學生制定如下獎勵方案：每名同學可以獲得2次抽獎機會，每次抽獎所得獎品的價值與對應的概率如下表所示.
獲得獎品的價值（單位：元） | 0 | 10 | 20 |
概率 |
|
|
|
用
（單位：元）表示學生甲參與抽獎所得獎品的價值，求的分布列及數學期望.
附：若
，則
，
，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（其中
）.
（1）當
時，若函數
在
上單調遞減，求
的取值范圍；
（2）當
，
時，
①求函數的極值；
②設函數圖象上任意一點處的切線為
，求在
軸上的截距的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某便利店計劃每天購進某品牌鮮奶若干件，便利店每銷售一瓶鮮奶可獲利
元；若供大于求，剩余鮮奶全部退回，但每瓶鮮奶虧損
元；若供不應求，則便利店可從外調劑，此時每瓶調劑品可獲利
元.
（1）若便利店一天購進鮮奶
瓶，求當天的利潤
（單位：元）關于當天鮮奶需求量
（單位：瓶，
）的函數解析式；
（2）便利店記錄了
天該鮮奶的日需求量（單位：瓶，）整理得下表：
日需求量 |
|
|
|
|
|
|
頻數 |
|
|
|
|
|
|
若便利店一天購進瓶該鮮奶，以天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天利潤在區間
內的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
（
）與圓
：
在第一象限相交于點
，橢圓的左、右焦點
，
都在圓上，且線段
為圓的直徑.
（1）求橢圓的方程；
（2）設過點
的動直線
與橢圓交于
，
兩點，
為坐標原點，證明：
為定值，并求出這個定值.
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