Question

【題目】已知函數，．

（Ⅰ）若在內單調遞減，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）若函數有兩個極值點分別為，，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見證明

【解析】

（I）先求得函數的導數，根據函數在上的單調性列不等式，分離常數后利用構造函數法求得的取值范圍.（II）將極值點代入導函數列方程組，將所要證明的不等式轉化為證明，利用構造函數法證得上述不等式成立.

（I）．

∴在內單調遞減，

∴在內恒成立，

即在內恒成立．

令，則，

∴當時，，即在內為增函數；

當時，，即在內為減函數．

∴的最大值為，

∴

（Ⅱ）若函數有兩個極值點分別為，，

則在內有兩根，，

由（I），知．

由，兩式相減，得．

不妨設，

∴要證明，只需證明．

即證明，亦即證明．

令函數．

∴，即函數在內單調遞減．

∴時，有，∴．

即不等式成立．

綜上，得．