Question

【題目】已知定義在R的奇函數f（x）滿足當x＞0時，f（x）=|2x﹣2|，

（1）求函數f（x）的解析式；
（2）在圖中的坐標系中作出函數y=f（x）的圖象，并找出函數的單調區間；
（3）若集合{x|f（x）=a}恰有兩個元素，結合函數f（x）的圖象求實數a應滿足的條件．

Answer 1

【答案】
（1）解：設x＜0，則﹣x＞0，

∴ ，

又f（﹣x）=﹣f（x），

∴ ．

∴函數f（x）的解析式為：

（2）解：圖象如圖所示，

由圖象得函數的減區間為[﹣1，0）和（0，1]．

增區間為（﹣∞，﹣1]和[1，+∞）

（3）解：作直線y=a與函數y=f（x）的圖象有兩個交點，

則a∈（﹣1，0）∪（0，1）

【解析】（1）利用奇函數的性質即可得出；（2）如圖所示，由圖象即可得出單調區間；（3）作直線y=a與函數y=f（x）的圖象有兩個交點，即可得出a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的函數奇偶性的性質，需要了解在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能得出正確答案．