Question

如圖，已知四邊形OBCD是平行四邊形，|OB|=2，|OD|=4，∠DOB=60°，直線x=t（0＜t＜4）分別交平行四邊行兩邊于不同的兩點M、N．
（1）求點C和D的坐標，分別寫出OD、DC和BC所在直線方程；
（2）寫出OMN的面積關于t的表達式s（t），并求當t為何值時s（t）有最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出得D、C的坐標，進而利用直線方程的四種形式即可求出；
（2）先寫出△OMN的解析式，進而即可得出其最大值．

解答：解：（1）設點D（x，y），則x=|OD|cos60°=4×

1

2

=2，y=|OD|sin60°=2

3

，∴點D(2，2

3

)．
∴點C的橫坐標=2+2=4，縱坐標=2

3

，即C(4，2

3

)．
①∵kOD=tan60°=

3

，∴直線OD的方程為y=

3

x；
②∵BC∥OD，∴kBC=kOD=

3

，根據點斜式得直線BC的方程為y=

3

(x-2)，即y=

3

x-2

3

；
③∵DC∥x軸，且點D的縱坐標為2

3

，
∴直線DC的直線方程為y=2

3

．
（2）由題意作出圖形．
①當0＜t≤2時，s（t）=S_△OMN=

1

2

t×

3

t=

3

2

t2，可知當t=2時，s（t）取得最大值為

3

2

×22=2

3

，
∴0＜s(t)≤2

3

；
②當2＜t＜4時，聯立

x=t y= 3 x-2 3

解得

x=t y= 3 t-2 3

，即N(t，

3

t-2

3

)，
又可知M(t，2

3

)，∴|MN|=2

3

-(

3

t-2

3

)=4

3

-

3

t．
∴s（t）=S_△OMN=

1

2

t×(4

3

-

3

t)=-

3

2

(t-2)2+2

3

．
∵函數s（t）在（2，4）上單調遞減，
∴s（t）＜s（2）=2

3

．
綜上可知：當t=2時，s（t0取得最大值2

3

．

點評：熟練掌握直線方程的四種形式和正確得出△OMN的面積的表達式是解題的關鍵．