Question

已知橢圓E的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸，且拋物線x2=-4

2

y的焦點是它的一個焦點，又點A(1，

2

)在該橢圓上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若斜率為

2

直線l與橢圓E交于不同的兩點B、C，當△ABC面積的最大值時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線的焦點，即得橢圓的焦點，設出橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1將點A（1，

2

）代入，求出a，即得橢圓方程；
（2）用待定系數法設直線BC的方程為y=

2

x+m，將其與橢圓的方程聯立求同弦長BC，再求出點A到此弦的距離，將三角形的面積用參數表示出，判斷出它取到最大值時的參數m的值即可得到直線l的方程

解答：解：（1）由已知拋物線的焦點為（0，-

2

），故設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

a2-2

=1．
將點A（1，

2

），代入方程得

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，，得a²=4或a²=1（舍）（4分）
故所求橢圓方程為

y2

4

+

x2

2

=1（5分）
（2）設直線BC的方程為y=

2

x+m，設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
代入橢圓方程并化簡得4x2+2

2

mx+m2-4=0，
由△=8m²-16（m²-4）=8（8-m²）＞0可得m²＜8，①
由x1+x2=-

2

2

m，x1x2=

m2-4

4

故|BC|=

3

|x₁-x₂|=

3 - 16-2m 2

2

．
又點A到BC的距離為d=

|m|

3

故SABC=

1

2

×|BC|×d=

m2(16-2m2)

4

≤

1

4 2

×

2m2+16-2m2

2

=

2

當且僅當2m²=16-2m²，即m=±2時取等號（滿足①式），S取得最大值

2

．
此時求直線l的方程為y=

2

x±2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是設出直線的方程，根據直線與圓錐曲線的位置關系，將三角形的面積用參數表示出來，本題解題過程中利用判別式判斷出最值取到時參數的值，這是本題中的一個難點，由于對知識掌握得不熟練，答題者可能到這里就不知道怎么來求參數的值，導致解題失敗，數學學習，知識掌握得全面是靈活運用的基礎．