Question

（2012•漳州模擬）已知函數f（x）=a^x+x²-xlna，（a＞1）．
（I）求證：函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（Ⅱ）函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，求t的值；
（Ⅲ）對?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求導函數，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，確定f'（x）＞0，即可得函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，轉化為f（x）=t±1共有三個根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個交點，根據t-1＜t+1，可得f（x）=t+1有兩個根，f（x）=t-1只有一個根，從而可求t的值；
（Ⅲ）問題等價于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1．由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，f（x）的最小值為f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中較大的一個，構造函數可得f（x）的最大值為f（1）=a+1-lna，從而問題轉化為a-lna≤e-1，即可求得a的取值范圍．

解答：（I）證明：求導函數，可得f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，∴lna＞0，當x＞0時，a^x-1＞0，∴f'（x）＞0，故函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增．
（Ⅱ）解：令f'（x）=2x+（a^x-1）lna=0，得到x=0，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值1	遞增

因為函數y=|f（x）-t|-1有三個零點，所以f（x）=t±1共有三個根，即y=f（x）的圖象與兩條平行于x軸的直線y=t±1共有三個交點．
y=f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，極小值f（0）=1也是最小值，當x→±∞時，f（x）→+∞．
∵t-1＜t+1，∴f（x）=t+1有兩個根，f（x）=t-1只有一個根．
∴t-1=f_min（x）=f（0）=1，∴t=2．（9分）
（Ⅲ）解：問題等價于f（x）在[-1，1]的最大值與最小值之差≤e-1．
由（Ⅱ）可知f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴f（x）的最小值為f（0）=1，最大值等于f（-1），f（1）中較大的一個，
f(-1)=

1

a

+1+lna，f（1）=a+1-lna，f(1)-f(-1)=a-

1

a

-2lna，
記g(x)=x-

1

x

-2lnx，（x≥1），則g′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2≥0（僅在x=1時取等號）
∴g(x)=x-

1

x

-2lnx是增函數，
∴當a＞1時，g(a)=a-

1

a

-2lna＞g(1)=0，
即f（1）-f（-1）＞0，∴f（1）＞f（-1），
于是f（x）的最大值為f（1）=a+1-lna，
故對?x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（1）-f（0）|=a-lna，∴a-lna≤e-1，
當x≥1時，(x-lnx)′=

x-1

x

≥0，∴y=x-lnx在[1，+∞）單調遞增，
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范圍是1＜a≤e．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的零點，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是利用導數確定函數的最值．