Question

已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)D的極坐標(biāo)是(1，

3

2

π)，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=

2

1-cosθ

．
（I）求點(diǎn)D的直角坐標(biāo)和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（II）若經(jīng)過點(diǎn)D的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求|DA|•|DB|的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，先將原極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ后化成直角坐標(biāo)方程．
（2）先寫出直線l的參數(shù)方程，將|DA|•|DB|利用參數(shù)的幾何意義，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．

解答：解：（I）點(diǎn)D的直角坐標(biāo)是（0，-1），（2分）
∵ρ=

2

1-cosθ

，∴ρ=ρcosθ+2，即x²+y²=（x+2）²，（4分）
化簡得曲線C的直角坐標(biāo)方程是y²=4x+4（5分）
（II）設(shè)直線l的傾斜角是α，則l的參數(shù)方程變形為

x=tcosα y=-1+tsinα

，（7分）
代入y²=4x+4，得t²sin²α-（4cosα+2sinα）t-3=0
設(shè)其兩根為t₁，t₂，則t1t2=-

3

sin2α

，（8分）
∴|DA|•|DB|=|t1t2|=

3

sin2α

．
當(dāng)α=90°時(shí)，|DA|•|DB|取得最小值3．（10分）

點(diǎn)評：本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化和直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．