Question

【題目】已知函數．

（I）如果在處取得極值，求的值．

（II）求函數的單調區間．

（III）當時，過點存在函數曲線的切線，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析；（III）.

【解析】試題分析：（I）求導數，由解得k的值即為所求；（II）求得，分和兩種情況討論函數的單調區間；（III）先設出切點，并求出函數在該點處的切線為，將代入切線放長可得，由此可得t的范圍即函數的 值域，求函數的值域可得所求。

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為．

∵，

∴，

∵函數在處取得極值，

∴，解得

當時， ，

∴當時， 單調遞增；

當時， 單調遞減，

∴函數在處取得極小值，符合題意．

∴

（Ⅱ）因為．

①當時， 恒成立，所以在上單調遞減，

②當時，令，得，

當時， ， 單調遞減；

當時， ， 單調遞增。

綜上，當時， 的單調減區間為；

當時， 的單調減區間為，單調增區間為。

（III）當時， ，

設切點坐標為，則.

又，

所以切線方程為，

將代入上式得．

令，所以．

當時，解得．

所以當時， ，函數單調遞增；

當時， ，函數單調遞減．

所以當時，函數有極大值，也為最大值，且，無最小值．

所以當時，存在切線．

故的取值范圍為.