Question

(本小題滿分12分)

已知定點，直線交軸于點，記過點且與直線相切的圓的圓心為點．

(I)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ)設傾斜角為的直線過點，交軌跡于兩點 ，交直線于點.若，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(I)

(Ⅱ) |PR|·|QR|的最小值為16

【解析】本試題主要是考查了拋物線的方程的求解，以及直線與拋物線的位置關系的綜合運用。

（1）連CA，過C作CD⊥l₁，垂足為D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，

（2）設直線l₂的方程為y=kx+1，

把直線方程與拋物線方程聯立消去y得 x²-4kx-4=0.

結合韋達定理來表示關系式，以向量的數量積來表示模長的積，得到結論。

解法一：(Ⅰ)連CA，過C作CD⊥l₁，垂足為D，由已知可得|CA|=|CD|，

∴點C的軌跡是以A為焦點，l₁為準線的拋物線，

∴軌跡E的方程為                  ………6分

(Ⅱ)設直線l₂的方程為，與拋物線方程聯立消去y得x²-4kx-4=0．

記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則.

因為直線PA的斜率k≠O，易得點R的坐標為 .

|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+1）·（x₂+，y₂+1）

=（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 ）（kx₂+ 2）

=(1+k²) x₁ x₂+(+2 k)( x₁+x₂)+ +4

= -4(1+k²)+4k(+2k)+ +4

=4(k²+)+8，

∵k²+≥2，當且僅當k²=1時取到等號．

又α∈[,],k∈[,1],∴上述不等式中等號能取到．

從而|PR|·|QR|的最小值為16.           ………12分

解法二：(I)同解法一．

(Ⅱ)設直線l₂的方程為y=kx+1，

把直線方程與拋物線方程聯立消去y得 x²-4kx-4=0.

記P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，則.

PR|·|QR|=|x₁-x_R|·|x₂-x_R|

=(1+k²)·(x₁+)(x₂+)，

下同解法一．