Question

是否存在常數a、b、c使等式1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2²+1²=an（bn²+c）對于一切n∈N^*都成立，若存在，求出a、b、c并證明；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在符合題意的常數a，b，c，再令n=1，n=2，n=3構造三個方程求出a，b，c，再用用數學歸納法證明成立，證明時先證：（1）當n=1時成立．（2）再假設n=k（k≥1）時，成立，遞推到n=k+1時，成立即可．

解答：解：假設存在a、b、c使1²+2²+3²+…n²+（n-1）²+…2¹+1²=an（bn²+c）對于一切n∈N^*都成立．
當n=1時，a（b+c）=1；當n=2時，2a（4b+c）=6；當n=3時，3a（9b+c）=19．
解方程組

a(b+c)=1 a(4b+c)=3 3a(9b+c)=19

，解得

a= 1 3 b=2c c≠0

證明如下：
①當n=1時，由以上知存在常數a、b、c使等式成立．
②假設n=k（k∈N^*）時等式成立，
即1²+2²+3²+…k²+（k-1）²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)；
當n=k+1時，1²+2²+3²+…（k+1）²+k²+…2²+1²=ak（bk²+c）=

1

3

k(2k2+1)+（k+1）²+k²=

1

3

(k+1)[2(k+1)2+1]；
即n=k+1時，等式成立．
因此存在a=

1

3c

，b=2c，c≠0常數，使等式對一切n∈N^*都成立．

點評：本題主要考查研究存在性問題和數學歸納法，對存在性問題先假設存在，再證明是否符合條件，數學歸納法的關鍵是遞推環節，要符合假設的模型才能成立．