Question

已知函數，其中，為自然對數的底數。
（Ⅰ）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；
（Ⅱ）若，函數在區間內有零點，證明：.

Answer 1

（Ⅰ）當時， ；當時， ；
當時， .（Ⅱ）的范圍為.

解析試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調區間，根據在上的單調性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，注意到.聯系到函數的圖象可知，導函數在區間內存在零點，在區間內存在零點，即在區間內至少有兩個零點. 由（Ⅰ）可知，當及時，在內都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）
①當時，，所以.
②當時，由得.
若，則；若，則.
所以當時，在上單調遞增，所以.
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.
當時，在上單調遞減，所以.
（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，則由可知，
在區間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減.
則不可能恒為正，也不可能恒為負.
故在區間內存在零點.
同理在區間內存在零點.
所以