Question

【題目】如圖，橢圓 =1（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A，B，焦距為2 ，直線x=﹣a與y=b交于點D，且|BD|=3 ，過點B作直線l交直線x=﹣a于點M，交橢圓于另一點P．

（1）求橢圓的方程；
（2）證明： 為定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可得 ，∴ ，

∴橢圓的方程為

（2）解：A（﹣2，0），B（2，0），設M（﹣2，y0），P（x1，y1），

則 =（x1，y1）， =（﹣2，y0）．

直線BM的方程為： ，即 ，

代入橢圓方程x2+2y2=4，得 ，

由韋達定理得 ，

∴ ，∴ ，

∴ =﹣2x1+y0y1=﹣ + = =4．

即 為定值．

【解析】（1）利用已知條件列出 ，求解可得橢圓的方程．（2）設M（﹣2，y0），P（x1 ， y1），推出 =（x1 ， y1）， =（﹣2，y0）．直線BM的方程，代入橢圓方程，由韋達定理得x1 ， y1 ， 然后求解 為定值．
【考點精析】通過靈活運用橢圓的標準方程，掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：即可以解答此題．