Question

【題目】已知橢圓.點E為橢圓在第一象限內一點，點F在橢圓上且與點E關于原點對稱，直線與橢圓交于A，B兩點，則點E，F到直線x+y-1=0的距離之和的最大值是________；此時四邊形AEBF的面積是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根據題意，設出兩點坐標，利用點到直線的距離公式，求得距離之和的表達式，結合點在橢圓上坐標滿足橢圓方程，利用柯西不等式即可求得距離之和的最大值；聯立橢圓方程和，求得兩點坐標，即可求得，則四邊形的面積可得.

根據題意，作圖如下：

不妨設，則，

故到直線的距離之和

因為點是橢圓上位于第一象限的點，根據直線劃分平面，以及點位于直線的右上側，

故可得：，且，

則.

又因為點在橢圓上，故，

由柯西不等式可得：，

即，解得，當且僅當時取得等號.

故；

聯立橢圓方程與直線方程，

可得，解得，

故可得.

故四邊形的面積.

故答案為：；.