Question

在△ABC中，|

AB

|=

3

，|

BC

|=1，|

AC

|cosB=|

BC

|cosA，則

AC

•

AB

=（　　）

• A、

  3

  2

  或2
• B、

  3

  2

  或

  2

• C、2
• D、

  3

  2

  或2

Answer 1

分析：通過正弦定理和|

AC

|cosB=|

BC

|cosA，求出A，B的關系：①A+B=90°，②A=B=30°分別利用

AC

•

AB

公式，求出它的值．

解答：解：設|

AB

|=c=

3

，|

CB

|=a=1，|

AC

|=b，
已知條件和正弦定理|

AC

|cosB=|

BC

|cosA
得：

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

所以sinAcosA=sinBcosB，
結合二倍角公式知sin2A=sin2B，A、B都是三角形的內角，
所以2A+2B=180°或者A=B． ①A+B=90°，
則C=90°，|

AC

|=

2

，tanA=

2

2

，cosA=

2

3

，
所以

AC

•

AB

=

2

•

3

cosA=2 ②A=B=30°（由三邊長為1，1，

3

）知，
所以

AC

•

AB

=1×

3

cos30°=

3

2

所以答案為2或

3

2

故選A

點評：本題是中檔題，考查三角形中的向量問題，正弦定理的應用，分類討論的數學思想，轉化思想的應用，考查計算能力，邏輯推理能力，常考題．