Question

（2012•福建）如圖，橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

 =1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F₁，右焦點(diǎn)為F₂，離心率e=

1

2

．過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線x=4相較于點(diǎn)Q．試探究：在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為8，可得4a=8，即a=2，利用e=

1

2

，b²=a²-c²=3，即可求得橢圓E的方程．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀），可得m≠0，△=0，進(jìn)而可得P（-

4k

m

，

3

m

），由

y=kx+m x=4

得Q（4，4k+m），取k=0，m=

3

；k=-

1

2

，m=2，猜想滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），再進(jìn)行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵過F₁的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且△ABF₂的周長為8．
∴4a=8，∴a=2
∵e=

1

2

，∴c=1
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，消元可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∵動(dòng)直線l：y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀）
∴m≠0，△=0，∴（8km）²-4×（4k²+3）×（4m²-12）=0
∴4k²-m²+3=0①
此時(shí)x₀=-

4km

4k2+3

=-

4k

m

，y₀=

3

m

，即P（-

4k

m

，

3

m

）
由

y=kx+m x=4

得Q（4，4k+m）
取k=0，m=

3

，此時(shí)P（0，

3

），Q（4，

3

），以PQ為直徑的圓為（x-2）²+（y-

3

）²=4，交x軸于點(diǎn)M₁（1，0）或M₂（3，0）
取k=-

1

2

，m=2，此時(shí)P（1，

3

2

），Q（4，0），以PQ為直徑的圓為（x-

5

2

）²+（y-

3

4

）²=

45

16

，交x軸于點(diǎn)M₃（1，0）或M₄（4，0）
故若滿足條件的點(diǎn)M存在，只能是M（1，0），證明如下
∵

MP

=(-

4k

m

-1，

3

m

)， 

MQ

=(3，4k+m)
∴

MP

•

MQ

=-

12k

m

- 3+

12k

m

+3=0
故以PQ為直徑的圓恒過x軸上的定點(diǎn)M（1，0）

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線的定義域性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．