Question

定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f(x),若對(duì)任意的x₁、x₂∈D,都有|f(x₁)－f(x₂)|＜1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．
（1）若，求過點(diǎn)處的切線方程；
（2）函數(shù)是否為“Storm函數(shù)”?如果是,請(qǐng)給出證明;如果不是,請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）（2）當(dāng)c≤－時(shí)，ax²+bx+c≤0的解集為R

本題屬于信息遷移題,主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值．（1），，切線方程為．
（2）函數(shù)f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的導(dǎo)數(shù)是f′(x)=3x²－1,
當(dāng)3x²－1=0時(shí),即x=±,
當(dāng)x＜時(shí),f′(x)=3x²－1＜0;當(dāng)x＞時(shí),f′(x)=3x²－1＞0,
故f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極小值是a－．
同理,f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極大值是a+．
∵f(1)=f(－1)=a,
∴函數(shù)f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,
因?yàn)閨f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|,
故|f(x₁)－f(x₂)|＜|f_max－f_min|=＜1．
所以函數(shù)f(x)=x³－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函數(shù)”．