Question

（本小題滿分13分）

已知三棱錐，平面，，，.

（Ⅰ）把△（及其內部）繞所在直線旋轉一周形成一幾何體，求該幾何體的體積；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）． （Ⅱ）．

【解析】本試題主要是考查了幾何體體積的求解，以及二面角的求解的綜合運用。

（1）由于由題設，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為4，高為5，根據圓錐的體積公式可知結論。

（2）合理的建立空間直角坐標系，然后表示出點的坐標，和向量的坐標和求解平面的法向量，利用向量的數量積性質，得到向量的夾角，從而得到二面角的平面角的大小。

解：（Ⅰ）由題設，所得幾何體為圓錐，其底面半徑為，高為．         

該圓錐的體積．              ………………5分

（Ⅱ）如圖建立空間直角坐標系，可得各點的坐標，，，．于是，．………………7分

由平面，得平面的一個法向量．……8分

設是平面的一個法向量．

因為，，所以，，

即，，解得，，取，得．…10分

設與的夾角為，則．   ………12分

結合圖可判別二面角是個銳角，它的余弦值為．   ………………13分