Question

【題目】已知拋物線： 的焦點為，點為其上一點，且．

（1）求與的值；

（2）如圖，過點作直線交拋物線于、兩點，求直線、的斜率之積．

Answer 1

【答案】（1）p=4, ；（2）直線、的斜率之積為.

【解析】試題分析：（1）利用和點在拋物線上即可求解；

（2）討論斜率不存在和斜率存在時兩種情況，斜率不存在直接檢驗即可；當直線的斜率存在，設為，則其方程可表示為： ，與拋物線聯立， ， ，利用韋達定理求解即可.

試題解析：

（1）拋物線： 的焦點為，準線為。

由拋物線定義知：點到的距離等于到準線的距離，故

， ，拋物線的方程為

點在拋物線上，

，

（2）由（1）知：拋物線的方程為，焦點為

若直線的斜率不存在，則其方程為： ，代入，易得：

， ，從而；

若直線的斜率存在，設為，則其方程可表示為： ，

由，消去，得：

即 ，

設， ，則

從而

綜上所述：直線、的斜率之積為。