Question

在銳角△ABC中，已知BC=1，B=2A
（1）求

AC

cosA

的值；
（2）求AC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設(shè)∠A=θ，可得∠B=2θ，利用正弦定理列出關(guān)系式，將已知的值代入，利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)即可求出所求式子的值；
（2）由三角形為銳角三角形求出θ的范圍，由（1）得到AC=2cosθ，利用余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出AC的范圍．

解答：解：（1）設(shè)∠A=θ，可得∠B=2θ，
由正弦定理得

AC

sin2θ

=

BC

sinθ

，即

AC

2sinθcosθ

=

1

sinθ

，
∴

AC

cosA

=

AC

cosθ

=2；
（2）∵△ABC為銳角三角形，∴0＜2θ＜90°，
∴0＜θ＜45°，
又0＜180-3θ＜90°，
∴30°＜θ＜60°，
∴

2

2

＜cosθ＜

3

2

，
則AC=2cosθ∈（

2

，

3

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦定理，二倍角的正弦函數(shù)公式，以及余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正弦定理是解本題的關(guān)鍵．