Question

實數x，y滿足不等式組

x-y+2≥0 x+y-4≥0 2x-y-5≤0

，則目標函數z=y-ax（a∈R）當且僅當x=1，y=3時取最大值，則a的取值范圍是（　　）

A．（0，1）

B．（-1，0）

C．（1，+∞）

D．（-∞，-1）

Answer 1

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用目標函數z=y-ax（a∈R）當且僅當x=1，y=3時取最大值，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值范圍．

解答：解：作出不等式組對應的平面區域如圖：（陰影部分ABC）．
由z=y-ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大．
平移直線y=ax+z，要使目標函數z=y-ax（a∈R）當且僅當x=1，y=3時取最大值，
即直線y=ax+z經過點A（1，3）時，截距最大，
由圖象可知當陰影部分必須在直線y=ax+z的右下方，
此時只要滿足直線y=ax+z的斜率a大于直線AB的斜率即可，
直線AB方程為x-y+2=0，即y=x+2，直線的斜率為1，
∴a＞1．
故a的取值范圍是（1，+∞）．
故選：C．

點評：本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．根據目標函數在A（1，3）取得最大值，得到直線斜率的關系是解決本題的關鍵．