Question

若=，=（sinωx，0），其中ω＞0，記函數(shù)f（x）=（+）•+k．
（1）若f（x）圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于，求ω的取值范圍．
（2）若f（x）的最小正周期為π，且當(dāng)x時(shí)，f（x）的最大值是，求f（x）的解析式，并說(shuō)明如何由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=f（x）的圖象．

Answer 1

【答案】分析：利用向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)二倍角、兩角差的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，
（1）利用周期與函數(shù)f（x）的圖象中相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離不小于，得到關(guān)系式，求出ω的取值范圍；
（2）通過(guò)周期求出ω，通過(guò)函數(shù)的最大值，求出x的值，然后確定k的值．利用函數(shù)圖象平移的原則：左加右減，上加下減由函數(shù)y=sinx的圖象變換得到函數(shù)y=f（x）的圖象．
解答：解：∵=（cosωx，sinωx），=（sinωx，0），
∴+=（cosωx+sinωx，sinωx）．
故f（x）=（+）•+k=sinωxcosωx+sin²ωx+k
=sin2ωx++k=sin2ωx-cos2ωx++k
=sin（2ωx-）+k+．
（1）由題意可知=≥，∴ω≤1．
又ω＞0，∴0＜ω≤1．
（2）∵T==π，∴ω=1．
∴f（x）=sin（2x-）+k+．
∵x∈[-，]，∴2x-∈[-，]．
從而當(dāng)2x-=，即x=時(shí)，f（x）_max=f（）=sin+k+=k+1=，
∴k=-．故f（x）=sin（2x-）．
由函數(shù)y=sinx的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=sin（x-）的圖象，再將得到的函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、公式的應(yīng)用、周期的求法、最值的應(yīng)用及函數(shù)圖象的變換，還考查發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題的能力、計(jì)算能力，是常考題型．