Question

【題目】已知函數（其中為自然對數的底數）．

（1）求的單調性；

（2）若，對于任意，是否存在與有關的正常數，使得成立？如果存在，求出一個符合條件的；否則說明理由．

Answer 1

【答案】（1）當時,在上的單調遞增；當時,在上單調遞減,在上單調遞增；（2）存在與有關的正常數

【解析】

（1）求導可得,分別討論,,時的情況,進而判斷單調性即可；

（2）存在與有關的正常數使得,即,則,設,滿足即可,利用導數可得,再設,利用導函數判斷函數性質即可求解

（1）,

①當時,恒成立,所以在上的單調遞增；

②當時,,,所以在上的單調遞增；

③當時,令,得,

當時,,單調遞減；

當時,,單調遞增；

綜上所述：當時,在上的單調遞增；

當時,在上單調遞減,在上單調遞增

（2）存在,

當時,,

設存在與有關的正常數使得,即

,

需求一個,使成立,只要求出的最小值,滿足,

∵,∴在上單調遞減,在上單調遞增,

∴,

只需證明在內成立即可,

令,

,

∴在單調遞增,

∴,

所以,故存在與有關的正常數使成立