【題目】如圖所示，已知A、B、C是長軸長為4的橢圓E上的三點，點A是長軸的一個端點，BC過橢圓中心O，且
，
.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設
是以原點為圓心，短軸長為半徑的圓，過橢圓E上異于其頂點的任一點P，作的兩條切線，切點分別為M，N，若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m，n，試計算
的值是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）是定值，證明見解析.
【解析】
（Ⅰ）由已知得
，數形結合求得
的坐標，代入橢圓方程求得
，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設
，
，由
，
是切點，可知
、、
、四點共圓．分別寫出以
為直徑的圓的方程與圓的方程，聯立可得
所在直線方程求出直線在
，
軸上的截距，結合在橢圓上可得
的值是定值．
解：（Ⅰ）依題意知：橢圓的長半軸長
，則
，
設橢圓
的方程為
由橢圓的對稱性知
，又
，
為等腰直角三角形，
點C的坐標為
，點B的坐標為
，
將C的坐標代入橢圓方程得
所求的橢圓的方程為
（Ⅱ）設點
，由，是
的切點知，
，
，
、、、四點在同一圓上，
且圓的直徑為OP則圓心為
，
其方程為
，
即
①
即點，
滿足方程①，又點，都在上，
， 坐標也滿足方程
②
②
①得直線的方程為
，
令
，得
，令
得
，
，
，又點Р在橢圓E上，
，即
為定值.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
有極值，且導函數
的極值點是
的零點，給出命題：①
；②若
，則存在
，使得
；③與所有極值之和一定小于0；④若
，且
是曲線
的一條切線，則
的取值范圍是
.則以上命題正確序號是_____________.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】己知A，B分別為橢圓C：
（a＞b＞0）的左右頂點，P為橢圓C上異于A，B的任意一點，O為坐標原點，
＝﹣4，△PAB的面積的最大值為
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C上存在兩點M，N，分別滿足OM∥PA，ON∥PB，求|OM||ON|的最大值．
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠商調查甲乙兩種不同型號汽車在10個不同地區賣場的銷售量（單位：臺），并根據這10個賣場的銷售情況，得到如圖所示的莖葉圖，為了鼓勵賣場，在同型號汽車的銷售中，該廠商將銷售量高于數據平均數的賣場命名為該型號的“星級賣場”.
（Ⅰ）求在這10個賣場中，甲型號汽車的“星級賣場”的個數；
（Ⅱ）若在這10個賣場中，乙型號汽車銷售量的平均數為26.7，求
的概率；
（Ⅲ）若
，記乙型號汽車銷售量的方差為
，根據莖葉圖推斷
為何值時，達到最小值（只寫出結論）.
注：方差
，其中
是
，
，…，
的平均數.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，直線l與橢圓C交于P，Q兩點，且點M滿足
.
（1）若點
，求直線
的方程；
（2）若直線l過點且不與x軸重合，過點M作垂直于l的直線
與y軸交于點
，求實數t的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（其中
為自然對數的底數）．
（1）求
的單調性；
（2）若
，對于任意
，是否存在與
有關的正常數
，使得
成立？如果存在，求出一個符合條件的；否則說明理由．
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區 | 電信詐騙舉報專區 | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區 | 涉企侵權舉報專區
違法和不良信息舉報電話：027-86699610 舉報郵箱：58377363@163.com
