Question

已知圓經過橢圓的右焦點和上頂點．
（1）求橢圓的方程；
（2）過原點的射線與橢圓在第一象限的交點為，與圓的交點為，為的中點，求的最大值.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題考查直線、圓、橢圓、平面向量、分式函數等基礎知識，考查直線與圓錐曲線的位置關系；考查運算求解能力、推理論證能力；考查數形結合、化歸與轉化及函數與方程等數學思想．第一問，數形結合，令y=0，x=0即可分別求出c和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出直線方程和P、Q點坐標，令直線與橢圓聯立得到Q點橫坐標，利用向量的數量積，將P、Q點坐標代入，得到關于k的表達式，利用導數求函數的最值；法二，將進行轉化，變成，再利用配方法求最值.
試題解析：（1）在中，
令得，即，令，得，即，      2分
由，∴橢圓：.                   4分
（2）法一：依題意射線的斜率存在，設，設 -5分
得：，∴.        6分
得：，∴，        7分
∴.      9分
．
設，，
令，得．
又，∴在單調遞增，在單調遞減.            11分
∴當時，，即的最大值為.         13分
法二：依題意射線的斜率存在，設，設      5分
得：，∴.              6分

=           9分
.
設，則.
當且僅當即.
法三：設點，，
                   6分
= .                          7分
又，
設與聯立得： .      9分
令.           11分
又點在第一象限，∴當時，取最大值.     13分