Question

【題目】如圖所示的多面體中，底面為正方形，為等邊三角形，平面，，點(diǎn)是線段上除兩端點(diǎn)外的一點(diǎn).

（1）若點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，證明：平面；

（2）若二面角的余弦值為，試通過計(jì)算說明點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）為線段的中點(diǎn)，詳見解析

【解析】

（1）通過證明，即可得證；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量解決二面角相關(guān)探索問題.

（1）因?yàn)?/span>是等邊三角形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，

故

因?yàn)?/span>，

且，故平面

又平面，

故

又，

故平面.

取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，過點(diǎn)作平行于的直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則

故

設(shè)

故

又

故，

設(shè)為平面的法向量，

則

故

令，故

故為平面的一個法向量.

由可知，為平面的一個法向量，

故，

即，令

則

，

解得，經(jīng)檢驗(yàn)知，

此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)