Question

在一次數學考試中，第22，23，24題為選做題，規定每位考生必須且只須在其中選做一題，設5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為

1

3

，每位學生對每題的選擇是相互獨立的，各學生的選擇相互之間沒有影響．
（1）求其中甲、乙兩人選做同一題的概率；
（2）設選做第23題的人數為ξ，求ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）設事件A₁表示甲選22題，A₂表示甲選23題，A₃表示甲選24題，B₁表示乙選22題，B₂表示乙選23題，B₃表示乙選24題，則甲、乙兩人選做同一題事件為A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，根據獨立事件概率乘法公式，可得答案．
（2）ξ可能取值為0，1，2，3，4，5．結合5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為

1

3

，可計算出ξ的分布列及數學期望

解答：解：（1）設事件A₁表示甲選22題，A₂表示甲選23題，A₃表示甲選24題，
B₁表示乙選22題，B₂表示乙選23題，B₃表示乙選24題，
則甲、乙兩人選做同一題事件為A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
且A₁與B₁，A₂與B₂，A₃與B₃相互獨立，
所以P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=3×

1

9

=

1

3

…（4分）
（2）ξ可能取值為0，1，2，3，4，5．
且5名考生選做這三題的任意一題的可能性均為

1

3

，
∴P(ξ=k)=

C

k 5

(

1

3

)k(

2

3

)5-k=

C

k 5

25-k

35

，k=0，1，2，3，4，5
∴分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

∴E(ξ)=np=5×

1

3

=

5

3

…（12分）

點評：此題考查了離散型隨機變量的定義及其分布列，并且利用分布列求出期望，還考查了考慮問題時的嚴謹的邏輯思維及計算能力．