Question

【題目】如圖，已知橢圓的左、右焦點分別為、，點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，有，且的最大值.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若是關于軸的對稱點，設點，連接與橢圓相交于點，直線與軸相交于點，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由對稱可得，故．又根據的最大值得到，進而得到，，所以可得到橢圓的方程．（2）由題意可設直線的方程為，結合由直線方程與橢圓方程組成的方程組可得直線的方程為，令，得點的橫坐標，從而得到點為左焦點，

進而得到．

（1）因為點為橢圓上任意一點，關于原點的對稱點為，

所以，

又，

所以，

．

又的最大值為，知當為上頂點時，最大，

所以，

所以，

所以．

所以橢圓的標準方程為.

（2）由題意可知直線存在斜率，設直線的方程為，

由消去并整理得.

因為直線與橢圓交于兩點，

所以，

解得．

設，，則，

且，，①

直線的方程為，

令，得 ，②

由①②得.

所以點為左焦點，

因此，，

所以．