Question

【題目】已知點為坐標原點，橢圓：（）過點，其上頂點為，右頂點和右焦點分別為，，且.

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）直線交橢圓于，兩點（異于點），，試判定直線是否過定點？若過定點，求出該定點坐標；若不過定點，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直線過定點.

【解析】

（Ⅰ）根據題意得到，之間的關系式，再結合橢圓的性質，即可求解；

（Ⅱ）先設出直線的方程，分類討論，聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理，分別利用斜率公式化簡求值進行計算，得出直線的方程，即可得解.

（1）因為橢圓：（）過點，所以.①

又因為，所以.因為，所以.②

把②代入①中，解得，，所以橢圓的標準方程為.

（Ⅱ）直線過定點.

理由如下：當直線與軸垂直時，設的方程為，

點，，.

因為，

所以，此時直線過橢圓的右頂點，

與已知直線交橢圓于，兩點矛盾；

當直線與軸不垂直時，設的方程為，點，.

聯立得，

則.

由韋達定理得，.

所以

.

又因為，所以，，所以存在，使成立.

此時直線的方程為，即，所以直線過定點.